MAT.05323.06 - Master-Vertiefung Wirtschaftsmathematik II (Vollständige Modulbeschreibung)

Prof. Dr. Axel Kröner, Jun. Prof. Dr. Martin Redmann;

Zu belegen sind insgesamt zwei Vorlesungen im Umfang (4V 2Ü) und eine Vorlesung im Umfang von (mindestens) (2V 1Ü) bzw. (4V 0Ü) aus den Bereichen:
1. Optimierung und Stochastik:

• Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen

Grundlagen aus der Funktionalanalysis; Existenztheorie für Optimalsteuerungsprobleme mit elliptische Gleichungen; Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung; Zustandsbeschränkungen; Numerische Verfahren; Anwendungen

• Optimierung in unendlich dimensionalen Räumen

Grundlagen der Variationsrechnung; konvexes Subdifferential; Fenchel-Dualität; Proximal-Punkt- und Splitting-Verfahren; Semiglatte Newtonverfahren

• Aktuelle Resultate aus der Optimierung

Wechselnde Themen beispielsweise zur Theorie und Numerik von Optimierungsproblemen mit zeitabhängigen partiellen Differentialgleichungen oder zur Theorie und Numerik von Feedbacksteuerungsproblemen

• Stochastische Prozesse oder Stochastische Differentialgleichungen

Begriff des stochastischen Prozesses und seiner Beschreibungsmöglichkeiten; Poisson- und Wiener-Prozess; Stationäre Prozesse; Markov-Prozesse; Martingaltheorie; stochastischen Integration (z.B. Ito Kalkül); Ito Formel; Theorie und Anwendungen von Stochastischen Differentialgleichungen

• Finanzmathematik

zeitdiskrete Modellierung von Finanzmärkten (Ein- und Mehrperiodenmodelle, insbesondere Cox-Ross-Rubinstein); Arbitrage; Fundamentallemma und risikoneutrale Bewertungsformel; zeitstetige Finanzmarktmodelle; Black-Scholes-Formel; Bewertung europäischer und amerikanischer Optionen

• Mathematische Statistik

Allgemeine Test- und Schätztheorie; Lineare Modelle der Statistik (kleinsten Quadrate-Methode und deren Eigenschaften, Testen linearer Hypothesen); Regressions- und Varianzanalyse mit Anwendungen; Bayes´sche Statistik; (Schätzen und Testen von Verteilungsparameter basierend auf A-priori Verteilung des unbekannten Parameters)
2. Numerik und Wissenschaftliches Rechnen

• Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen

Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen: Anfangswertprobleme, Randwertprobleme; Einschrittverfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen; Praktische Aspekte (I): Schrittweitensteuerung; Lineare Mehrschrittverfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen; Praktische Aspekte (II): Prädiktor-Korrektor-Verfahren; (Linear-)implizite Verfahren für steife Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen; Praktische Aspekte (III): Lösung der Korrektorgleichung mit vereinfachten Newton-Verfahren; Exkurs I: Numerische Lösung von Randwertproblemen; Exkurs II: Differential-algebraische Systeme

• Numerik partieller Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen: Einführung; Klassische Probleme der mathematischen Physik, klassische Lösungsverfahren; Finite-Differenzen-Methode (FDM) für elliptische und parabolische Differentialgleichungen 2. Ordnung sowie für partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung;
Finite-Elemente-Methode (FEM) für lineare elliptische Randwertaufgaben 2. Ordnung: Problemstellung, Variationsformulierung, funktionalanalytische Grundlagen, FE-Diskretisierung, Konvergenz, Fehlerabschätzungen; Praktische Aspekte: Fehlerschätzer, Gittergenerierung, Gitterverfeinerung, Iterationsverfahren für große lineare Gleichungssysteme

• Differenzengleichungen und ihre Anwendung

Lineare Differenzengleichungen; Systeme mit konstanten Koeffizienten; Stabilität; Asymptotisches Verhalten; Anwendungen (iterative Lösung linearer Gleichungssysteme, orthogonale Polynome, A-Stabilität linearer Mehrschrittverfahren)

• Dynamische Systeme und Numerische Analysis

Dynamische Systeme: Grundlagen, praktische Anwendungsbeispiele; Numerische Lösung von Anfangswertproblemen; Interpretation von numerischen Lösungsverfahren als dynamische Systeme;
Stabilität der numerischen Lösung für kontraktive Systeme, dissipative Systeme und Hamilton-Systeme; Konvergenzeigenschaften von Zeitintegrationsverfahren hinsichtlich der numerischen Approximation von Gleichgewichtszuständen, periodischen Lösungen und chaotischen Lösungen

• Monte Carlo Methoden und Zufallszahlengeneratoren

Pseudo-Zufallszahlengeneratoren für die Gleichverteilung (u.a. LCGs, Mersenne Twister);
Methoden zur Generierung der Normalverteilung (u.a. Box-Muller Methode, Ziggurat Algorithmus);
Direkte Simulation (statistische Auswertung, Konvergenzbegriffe und Komplexitätsanalyse);
Varianzreduktionstechniken (u.a. antithetic sampling, control variates, stratified sampling);
Multilevel Monte Carlo; Markov Chain Monte Carlo

• Numerik stochastischer Prozesse

Grundbegriffe der stochastischen Prozesse; Einführung in die stochastische Integration und stochastische Differentialgleichungen; Simulation von Wiener Prozessen und Approximation von stochastischen Integralen; Approximationsmethoden für stochastische Differentialgleichungen (u.a. Euler-Maruyama Methode, Milstein Methode); Fehleranalyse (starke Konvergenz, schwache Konvergenz); Multilevel Monte Carlo

• Aktuelle Resultate der Numerischen Mathematik

Wechselnde Themen beispielsweise zur Theorie und Numerik von differential-algebraischen Gleichungen (DAEs) oder zur Theorie und Numerik von deterministischen und stochastischen Evolutionsgleichungen.

Inhaltlicher Gegenstand der mündlichen Prüfung sind die Vorlesungen.

Lösen von Übungsaufgaben und deren Präsentation zur Vorlesung/Übung 1, Lösen von Übungsaufgaben und deren Präsentation zur Vorlesung/Übung 2

mündliche Prüfung