Die Ausbreitung von Wellen ist in meisten Fällen (in der Natur und in Anwendungen) dispersiv. Dispersion heißt, dass Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten. Diesen Effekt kann man zum Beispiel an den krisförmigen Wasserwellen beobachten, die nach einem Steinwurf ins Wasser entstehen. Dispersion verursacht zum Beispiel auch, dass lokalisierte Wellen (Impulse) während der Zeit immer breiter und delokalisierter werden. Dispersion ist aber auch ein Glättungsmechanismus, d.h. Lösungen sind glätter als Anfangsdaten. Diese Eigenschaften gelten aber nur im linearen Fall, d.h. wenn die Gleichung linear ist. Im nichtlinearen Fall (der oft physikalisch der richtige ist) ist die Dynamik viel interessanter und eine Welle, die lokalisiert für alle Zeiten bleibt, ist oft möglich. Spezielle Beispiele sind Solitärwellen und Solitone.
Themen:
1) Allgemeine lineare Theorie
- Dispersionsrelation, Gruppengeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit
- Asymptotik von dispersiven Wellen für lange Zeiten
- Energie-Ausbreitung, Ausbreitungsgeschwindigkeit
2) Lineare Schrödinger-Gleichung
- Darstellungsformel für die Lösung
- Glättungseigenschaft der Dispersion
4) Wellen in periodischen Strukturen
- Bloch-Wellen
- Bloch-Transformation, Bandstruktur
5) Nichtlineare dispersive Wellen (z.B. Flachwasserwellen, nichtlineare Optik):
- Approximation durch asymptotische Amplitudengleichungen: Korteweg-de Vries Gl. (KdV) für Flachwasserwellen und für das Fermi-Pasta-Ulam-Problem
- Nichtlineare Schrödinger-Gl. (NLS) als universelles Modell für kleine Wellenpakete
- Fehlerabschätzung der Approximation durch NLS für die nichtlineare Wellengleichung
