Die meisten Differentialgleichungen können nicht explizit gelöst werden. Es ist aber oft möglich qualitative Aussagen über ihre Lösungen zu treffen. Für eine Lösung, wie z.B. die Anzahl von infizierten in einer Population, können sich solche Aussagen erstens auf die Form der Lösung beziehen: die Asymptotik für lange Zeiten, ob die Lösung periodisch ist oder zu einem Fixpunkt konvergiert usw. Zweitens gibt es bei einer Lösung die wichtige Frage von Stabilität: ändert sich die Lösung wenig, wenn die Anfangsbedingung wenig variiert wird oder ist die Änderung nach einer langen Zeit groß? Eine weitere Fragestellung, die wir betrachten werden, ist die Abhängigkeit der Lösungen von Parametern, z.B. von der Reproduktionsrate der Räuber in einem Räuber-Beute Problem. Falls sich die Lösung bei einem Parameterwert qualitativ ändert, sprechen wir von einer Verzweigung.
Vorläufige Themenliste:
1) Grundlagen:
- stetige Abhängigkeit von Parametern und Anfangsdaten
- Phasenporträt, Fixpunkte, periodische Orbits, homoklinische und heteroklinische Lösungen, omega-Limit-Menge, Attraktor
- Floquet-Theorie
2) Stabilitätstheorie
- Linearisierungsmethode
- Satz über die stabile, instabile Mannigfaltigkeit für hyperbolische Fixpunkte
- Satz von Hartmann-Grobman
- zentrale Mannigfaltigkeit
- Lyapunov-Methode für Stabilität
- Poincare-Abbildung
- linear Stabilität von periodischen Lösungen
L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, 1996.
S. Hsu, Ordinary Differential Equations with Applications, World Scientific, 2006
J.K. Hale, H. Kocak, Dynamics and Bifurcations, Springer, 1991
W. Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 2000.
P. Hartman, Ordinary Differential Equations, Wiley, New York, 1964.
G. Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, 2012.
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