Vorlesung in der Kategorie Offizielle Lehrveranstaltungen
Erster Termin
Mittwoch, 08.10.2008 16:15 - 17:45
Art/Form
Vorlesung
Teilnehmende
- wahlobl. für das 5. Semester Mathematik
- wahlobl. für das 5. Semester Mathematik-LAG
- wahlobl. für das 5. Semester Physik
- wahlobl. für das 5. Semester Informatik-mit-Wahlpflichtfach-Mathematik
Voraussetzungen
Lineare Algebra und Analysis aus dem Grundstudium
Lernorganisation
Vorlesung ueber 4 SWS mit einer Uebung ueber 2 SWS
(Uebungsleiter: Herr Dr. Agafonov)
Leistungsnachweis
Ein Uebungsschein kann erworben werden.
SWS
4+2
Sonstiges
__Literatur__:
V.I. Arnol'd, S.M. Gusein-Zade & A.N. Varchenko, Singularities of differentiable maps I, Birkhaeuser Verlag
J.W. Bruce, Classifications in Singularity Theory and their applications. In: New developments in Singularity Theory, Kluwer Acad. Publ.
M. Golubitsky & V. Guillemin, Stable mappings and their singularities, Springer Graduate Text in Mathematics
M. Hirsch, Differential topology, Springer Graduate Text
in Mathematics
J. Martinet, Singularities of smooth functions and maps, Cambridge University Press
C.T.C. Wall, Classification and stability of smooth maps. In: Singularity Theory (Trieste 1991), World Scientific Publ.
Wenn man einen Torus im R^3, von einem 'generischen' Projektionszentrum aus, in eine Ebene projiziert, dann ist die Umrisskurve des Torus in der Bildebene eine Kurve mit schlimmstenfalls gewoehnlichen Spitzen und Doppelpunkten als Singularitaeten. Allgemeiner hat H. Whitney 1955 gezeigt, dass die stabilen lokalen Singularitaeten von Abbildungen zwischen 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten entweder Falten (diese entsprechen den regulaeren Punkten der Umrisskurve)
oder Whitney-Spitzen sind (letztere entsprechen den Spitzen der Umrisskurve). Die gewoehnlichen Doppelpunkte der Umrisskurve entsprechen bi-lokalen Singularitaeten, den Doppelfalten. Whitney klassifizierte die stabilen differenzierbaren Abbildungen zwischen zwischen 2-Mannigfaltigkeiten M und P bis auf nicht-lineare lokale Koordinatenwechsel (Diffeomorphismen) in M und P.
Die Arbeit von Whitney (zusammen mit noch frueheren Arbeiten von Morse ueber kritische Punkte von Funktionen auf Mannigfaltigkeiten) bilden den Ausgangspunkt der heutigen Singularitaetentheorie. In dieser einfuehrenden Vorlesung sollen die grundlegenden Methoden bei der Klassifikation von Singularitaeten und Anwendungen
in der Geometrie und Differentialtopologie besprochen werden.
Zum Inhalt:
* Mannigfaltigkeiten und Liegruppen: Bahnen von Liegruppenoperationen, Mather's Lemma, vollstaendige Transversale
* Differenzierbare Abbildungskeime und ihre G-Aequivalenz: die Mathergruppen G, Tangentialraeume und Liealgebren, Jetraeume
* Endliche Bestimmtheit: z.B. wann ist ein Abbildungskeim G-aequivalent zu seiner Taylorreihe vom Grad k?
* Transversalitaet und Einbettungssaetze fuer
differenzierbare Mannigfaltigkeiten
* Verselle Entfaltungen von Singularitaeten: Bifurkationsmengen, Stabilitaet und Stabilisierung von Singularitaeten
* Klassifikation von Singularitaeten: Moduli, einfache
Singularitaeten, Beispiele
