MAT.00714.03 - Analysis (18 LP) (Vollständige Modulbeschreibung)

Prof. Dr. Nils Waterstraat; Prof. Dr. Tomás Dohnal

Die Studierenden sollen

• das Verständnis für die grundlegenden Prinzipien der Analysis, den

Grenzwertbegriff, die analytische Behandlung der geometrisch motivierten
Problemstellungen und exemplarisch für den naturwissenschaftlichen Hintergrund
entwickeln

• die Grundbegriffe und -techniken sicher beherrschen und die Fähigkeiten zum

aktiven Umgang mit den Gegenständen der Lehrveranstaltungen erwerben

• die mathematische Arbeitsweise an konkreten Fragestellungen erlernen,

mathematische Intuition entwickeln und deren Umsetzung in präzise Begriffe und
Begründungen einüben

• exemplarisch die Entwicklung der Analysis an einigen zentralen Begriffen

nachvollziehen

• durch die linearen Strukturen innerhalb der Analysis am Beispiel der Grundmodule

die enge Verbindung mathematischer Gebiete erkennen

• das Basiswissen und Fertigkeiten für das gesamte weitere Studium, insbesondere

die Grundlage für die Aufbaumodule der Analysis, Topologie, Geometrie, Numerik,
Stochastik, Lineare Optimierung erwerben.

• Grundlagen: Mengen, Logik und Beweistechniken, natürliche Zahlen, Vollständige

Induktion, reelle Zahlen, komplexe Zahlen.

• Folgen und Reihen: Grenzwerte, Konvergenzkriterien, Folgen und Reihen komplexer

Zahlen, Funktionen, elementare transzendente Funktionen.

• Stetigkeit: Zwischenwertsatz, Satz über Umkehrfunktionen, Logarithmus, stetige

Funktionen auf kompakten Intervallen.

• Differenzierbarkeit: Mittelwertsatz der Differentialrechnung, lokale Extrema,

Funktionenfolgen und %u2013reihen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit und gleichmäßige
Konvergenz, Potenzreihen, Taylorformel.

• Integration: Riemann-Integral, Integration und Differentiation, Integrationsregeln,

Uneigentliche Integrale.

• Metrische Räume: Topologische Grundbegriffe, normierte Räume. Vollständigkeit.
• Reelle Funktionen des Rn: stetige Funktionen, Differentiation im Rn, totale und

partielle Differenzierbarkeit, die Sätze über Umkehrfunktionen und implizite
Funktionen, Taylorformel, Quadratische Formen, lokale Extrema ohne und mit
Nebenbedingungen, Jordan Kurven im Rn, Jordan-Riemannscher Inhalt beschränkter
Punktmengen des Rn, Integralsätze, Anwendungen in der Vektoranalysis.

Lösung von Übungsaufgaben und deren Präsentation, Bestehen von Zwischentests

Klausur oder mündliche Prüfung