MAT.05382.01 - Numerische Lösung von Differentialgleichungen (für Naturwissenschaften und Informatik) (Vollständige Modulbeschreibung)

Prof. Dr. M. Arnold

Die Studierenden sollen

• einen Überblick über das Auftreten, die verschiedenen Problemstellungen und die praktischen Anwendungen von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen bekommen
• in der Lage sein, Kenntnisse aus der Analysis zielorientiert zur Problemanalyse anzuwenden
• lernen, numerische Verfahren hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit und Effizienz einzuschätzen
• befähigt werden, in Abhängigkeit vom konkreten Problem geeignete Verfahren auszuwählen und entsprechende Standardsoftware zur Lösung einzusetzen

V1 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen:

• Ausgewählte theoretische Grundlagen zu Differentialgleichungen (Existenz einer Lösung, Stabilität von Anfangswertproblemen)
• Verfahren für nichtsteife Probleme (explizite Runge-Kutta-Methoden, lineare Mehrschritt-verfahren, Extrapolationsverfahren)
• Allgemeine Konvergenztheorie (Zusammenhang von Konsistenz, Konvergenz und Stabilität)
• Fragen der Implementierung (Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung)
• Die Problematik steifer Anfangswertprobleme (Auftreten, Beispiele, Anforderungen an die Verfahren)
• Verfahren für steife Anfangswertprobleme (implizite Runge-Kutta-Methoden, BDF- Methoden, Stabilitätsuntersuchungen)
• Einschätzung der verschiedenen Verfahren, Überblick über Software.

V2 Numerik partieller Differentialgleichungen:

• Typische Differentialgleichungen der mathematischen Physik, Anwendungsbeispiele aus den Naturwissenschaften und aus der Finanzmathematik
• Klassifikation partieller Differentialgleichungen (elliptisch, parabolisch, hyperbolisch)
• Klassische Lösungsverfahren: Separationsansatz, Charakteristikenverfahren
• Finite-Differenzen-Methode für elliptische Differentialgleichungen: Grundlagen, Konsistenz, Stabilität und Konvergenz, Maximumprinzipien
• Finite-Differenzen-Methoden für partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
• Linienmethode zur Lösung parabolischer Differentialgleichungen 2. Ordnung
• Finite-Elemente-Methode (FEM) für lineare elliptische Randwertprobleme 2. Ordnung: Schwache Formulierung, funktionalanalytische Grundlagen (ohne Beweis), Galerkin-Verfahren, Konvergenztheorie
• Praktische Aspekte: Gittergenerierung, Fehlerschätzung, iterative Lösung großer schwach besetzter linearer Gleichungssysteme

V3 Vorlesungen A und B: Es sind zwei der drei folgenden Vorlesungen zu wählen:
# Vorlesung "Numerische Methoden für große Differentialgleichungssysteme" (3 V + 0 Ü). Inhalte:

• Linienmethode, Eigenschaften semidiskretisierter partieller Differentialgleichungen, z.B. Diffusions-Reaktionsgleichungen
• Problem der Steifheit, Anforderungen an numerische Verfahren bei hoher Dimension
• Spezielle Methoden für große Systeme: stabilisierte explizite Runge-Kutta-Verfahren, Einsatz von Krylov-Techniken, exponentielle Integratoren, AMF-Methoden
• Überblick über vorhandene Software für große Systeme

# Vorlesung "Dynamische Systeme und numerische Analysis" (2 V + 1 Ü). Inhalte:

• Dynamische Systeme: Grundlagen, praktische Anwendungsbeispiele
• Numerische Lösung von Anfangswertproblemen
• Interpretation von numerischen Lösungsverfahren als dynamische Systeme
• Stabilität der numerischen Lösung für kontraktive Systeme, dissipative Systeme und Hamilton-Systeme
• Konvergenzeigenschaften von Zeitintegrationsverfahren hinsichtlich der numerischen Approximation von Gleichgewichtszuständen und periodischen Lösungen

# Vorlesung "Geometrische Zeitintegration" (2 V + 1 Ü). Inhalte:

• Motivation, einführende Beispiele
• Klassische Zeitintegrationsverfahren: Runge-Kutta-Verfahren, Kollokationsverfahren
• Partitionierte Verfahren, Zusammengesetzte Verfahren
• Numerische Lösung von Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten
• Lie-Gruppen-Integratoren

Lösen von Übungsaufgaben und deren Präsentation

mündliche Prüfung