Diese Lehrveranstaltung ist ein Lektürekurs, der die wöchentlichen Kursmaterialien des gleichnamigen Internetseminars begeleitet. Nähere Informationen zum Ablauf des Internetseminars findet man auf https://isem.math.kit.edu . Dort kann man sich anmelden, das wöchentliche Kursmaterial (samt Übungen) herunterladen und sich an Diskussionsforen beteiligen. Die Materialien sind auf Englisch, der Kurs kann auf Deutsch oder Englisch abgehalten werden.
In der ersten Sitzung am 16.10. wird der Ablauf des Internetseminars erklärt. Richtig los mit der Mathematik geht es in der folgenden Sitzung.
Geschwindigkeit, Anspruch und Detailtiefe des Lektürekurses richten sich nach den Wünschen der Teilnehmer. Der Kurs läuft zu Beginn inhaltlich parallel zur Vorlesung "Evolutionsgleichungen" von Herrn Prof. Prüß, setzt jedoch z.T. andere Schwerpunkte. Interessierte Studierende, denen es nicht um die Leistungspunkte geht, sind natürlich auch immer willkommen. Auf Basis des Kurses können Abschlussarbeiten vergeben werden.
Zum Inhalt:
Viele Wellenphänomene werden mathematisch durch dispersive Gleichungen beschrieben. Die Wellen- und Schrödingergleichung gehören dabei zu den wichtigsten Beispielklassen; sie sind 'dispersiv' in dem Sinne, dass Wellenpakete auseinanderlaufen. Mathematisch gesehen bedeutet dies eine Verbesserung der Integrabilitätseigenschaften, die die tieferliegenden Resultate zu semilinearen Problemen erst ermöglicht.
Wir behandeln diese Gleichungen im allgemeineren Rahmen der Theorie der Evolutionsgleichungen. Diese beschreiben die zeitliche Entwicklung dynamischer Systeme durch eine gewöhnliche Differentialgleichung in einem Banachraum (bei uns meist ein Hilbertraum). Wir untersuchen zuerst lineare und autonome (zeitinvariante) Probleme. Davon ausgehend betrachten wir dann auch nichtlineare (genauer: semilineare) Gleichungen. Die Lösungen im linearen Fall werden durch eine einparametrige Halbgruppe linearer Operatoren dargestellt. Im semilinearen Fall ist die Lösung durch die Formel der Variation der Konstanten gegeben. Für solche Operatorhalbgruppen gibt es eine recht vollständige Theorie, mit deren Hilfe man die Eigenschaften des zugrunde liegenden dynamischen Systems untersuchen kann. Dieser Zugang beruht wesentlich auf funktionalanalytischen Denkweisen und Resultaten.
Wir befassen uns mit den grundlegenden Existenzsätzen für lineare und semilineare autonome Evolutionsgleichungen. Darauf aufbauend, werden dann qualitative Eigenschaften der Lösungen untersucht (z.B. das Langzeitverhalten). Diese Resultate lassen werden dann etwa auf die lineare und semilineare Wellen- und Schrödingergleichung angewendet. Bei der Behandlung der nichtlinearen Schrödingergleichung benötigen wir aber ein weiteres Instrument: Wir leiten die Strichartzungleichungen her, die den dispersiven Charakter der linearen, freien Schrödingergleichung ausdrücken.
Die Vorlesung setzt die Vorlesung Funktionalanalysis voraus. Grundlagen der Spektraltheorie und der Sobolevräume werden im Kurs kurz wiederholt. Vorkenntnisse über partielle Differentialgleichungen sind hilfreich, aber keinesfalls notwendig.
